MÉTODO POSICIÓN FALSA
Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.
Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior,
Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.
Supongamos que tenemos una función que es contínua en el intervalo y además, y tienen signos opuestos.
Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos , . Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:
Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:
Sea contínua,
i) Encontrar valores iniciales , tales que y tienen signos opuestos, es decir,
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de , comenzando en el intervalo y hasta que .
Solución
Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que es contínua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la regla falsa.
Calculamos la primera aproximación:
Así pues, evaluamos |
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .
Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:
Evaluamos , y hacemos la tabla de signos:
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo , con el cual, podemos calcular la nueva aproximación:
Ejemplo 2
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de , comenzando en el intervalo y hasta que .
Solución
Este es el mismo ejemplo 2 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que se cumplen las hipótesis necesarias para poder aplicar el método, es decir, que sea contínua en el intervalo dado y que tome signos opuestos en los extremos de dicho intervalo.
Calculamos pues, la primera aproximación:
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos:
De lo cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo .
Así pues, calculamos la nueva aproximación:
Evaluamos .
Y hacemos nuestra tabla de signos:
De los cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo , con el cual podemos calcular al siguiente aproximación:
Por supuesto que puede darse el caso en el que el método de la regla falsa encuentre la aproximación a la raíz de forma más lenta que el método de la bisección. Como ejercicio, el estudiante puede aplicar ambos métodos a la función , comenzando en el intervalo , donde notará que mientras que el método de bisección requiere de 8 aproximaciones para lograr que , el método de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones.
Veremos a continuación un ejemplo del metódo de la Posición, Falsa con la siguiente ecuación:
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