lunes, 23 de mayo de 2011

CONSULTA 2 DE METODO DE BISECCION



Inicio

Bisecci�n Software:  4Bisecci�n





Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua $f$ en un intervalo cerrado $[a, b]$ toma todos los valores que se hallan entre $f(a)$ y $f(b)$. Esto es, que todo valor entre $f(a)$ y $f(b)$ es la imagen de al menos un valor en el intervalo $[a, b]$. En caso de que $f(a)$ y $f(b)$ tengan signos opuestos ( $f(a)\cdot f(b)<0$ ), el valor cero sería un valor intermedio entre $f(a)$ y $f(b)$, por lo que con certeza existe un $p$ en $[a, b]$ que cumple $f(p) = 0$. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación $f(x) = 0$.

El método consiste en lo siguiente: De antemano debemos estar seguros de la continuidad de la función $f(x)$ en el intervalo $[a, b]$. Luego verificamos que $f(a)\cdot f(b)<0$. Calculamos el punto medio $m$ del intervalo $[a, b]$. A continuación calculamos $f(m)$. En caso de que $f(m)$ sea igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada. En caso de que no lo sea, verificamos si $f(m)$ tiene signo opuesto con $f(a)$ o con $f(b)$. Se redefine el intervalo $[a, b]$ como $[a,m]$ o $[m,b]$ según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo. Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada. En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.

En la primera iteración del algoritmo de bisección, es claro que la raíz $p$ se halla a una distancia menor o igual que $\frac{b-a}{2}$, pues con toda seguridad la raíz se encuentra en alguno de los dos intervalos de tamaño $(b-a)/2$, contiguos al punto medio del intervalo $[a, b]$. En la segunda iteración, el nuevo intervalo mide $\frac{b-a}{2}$ y de nuevo la distancia entre el nuevo punto medio y $p$ es menor o igual que $\frac{b-a}{2}/2=\frac{b-a}{4}$. Se forman así tres sucesiones de valores $\{a_n\}_n$, $\{b_n\}_n$y $\{m_n\}_n$, y puede mostrarse fácilmente por inducción que en la n-ésima iteración, al aproximar $p$ con $m_n$ se tiene que
\begin{displaymath}\vert m_n-p\vert \leq \frac{b-a}{2^n} \end{displaymath}

De esta forma, si queremos estimar el número $n$ de iteraciones necesarias para que, al aproximar la solución de la ecuación mediante el punto medio, el error de aproximación sea menor que un parámetro $\epsilon$, de la desigualdad anterior se concluye que deben hacerse al menos $\lceil \ln (\frac{b-a}{\epsilon}) /\ln2 \rceil$. 1  iteraciones. 

Por ejemplo, al aplicar el algoritmo de bisección a una función $f(x)$ en el intervalo $[-2,1] $, si queremos que el error de aproximación sea menor o igual que $0.00005=5\cdot 10^{-5}$, el número $n$ de iteraciones debe cumplir
  $n\geq \lceil \ln (\frac{3 \cdot 10^5}{5\cdot }) /\ln 2 \rceil = \lceil 15.873 \rceil = 16$
por lo que deben realizarse al menos 16 iteraciones.


Algoritmo Bisección:

Entrada: Una función continua $f(x)$ definida en un intervalo $[a, b]$, con $f(a)$ y $f(b)$ de signos opuestos.

Parámetros:

$N$    = Máximo número de iteraciones.

$Tol$ = Nivel de precisión respecto a la solución exacta.
.
Inicio
.
Defina $i=1$
.
Mientras $i\leq N$:
.
Defina $m = (a+b)/2$.
.
Si $(f(m) = 0) \vee (b-a)/2< Tol $,
.
Salida: m.
.
Parar

.



Si $f(a)\cdot f(m) < 0$ redefina $b = m$. De otra forma, redefina $a = m$.

.



Incremente $i = i+1$.

.



Salida: "El método fracasó después de $N$ iteraciones".

.



Parar.
 
Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)